Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.

（I）求证：；

（II）求直线与平面所成角的正弦值；

（III）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】I.见解析；Ⅱ. ；Ⅲ.满足条件的点G存在，且

【解析】

I:建立空间坐标系，求出相应的直线的方向向量和平面的法向量，证明向量的平行即可；Ⅱ：求出平面SBD的法向量，直线SA的方向向量，由公式可得到线面角；Ⅲ.假设满足条件的点G存在，并设DG=1.则G（1，t，0），求出平面AFG的法向量，和面AFE的法向量，由二面角的平面角的公式得到关于t的方程，进而求解.

I.以A为坐标原点，分别以AC，AB.AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）

由SF=2FE得F(,,)

平面

平面SBC

Ⅱ.设（x1，y1，z1）是平面SBD的一个法向量，

由于，则有

令，则，即。

设直线SA与平面SBD所成的角为，而，

所以

Ⅲ.假设满足条件的点G存在，并设DG=.则G（1，t，0）.

所以

设平面AFG的法向量为，

则

取，得

即.

设平面AFE的法向量为

则

取，得，即

由得二面角G-AF-E的大小为得

，化简得，

又，求得，于是满足条件的点G存在，且