Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；

（Ⅱ）求证：当时，函数至多有一个极值点；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）利用导数的几何意义求实数a的值；（Ⅱ）对a分两种情况讨论，利用导数证明函数至多有一个极值点.

解：（Ⅰ）由，得

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）证明：当时，

当时，，函数在上单调递增，无极值；

当时，令，则.

由得，

则①当，即时，，在上单调递减，

所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.

所以函数在上至多有一个极值点.

②当，即时，及随的变化情况如下表：

x
	+	0	-
		极大值

因为，

所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.

所以函数在上至多有一个极值点.

综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点