Question

【题目】已知函数，(为常数)

(1)若

①求函数在区间上的最大值及最小值。

②若过点可作函数的三条不同的切线，求实数的取值范围。

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）。

【解析】

(1)①利用导数求出函数的最值；②设曲线切线的切点坐标为，则，故切线方程为，

因为切线过点，所以有三个不同的解；

（2）不等式等价于，令，明确函数的最值，对a分类讨论，即可得到结果。

(1)因为，所以，从而。

①令，解得或，列表：

所以，，。

②设曲线切线的切点坐标为，则，

故切线方程为，

因为切线过点，所以，

即，

令，则，

所以，当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

所以，，

要使过点可以作函数的三条切线，则需，解得。

（2）当时，不等式等价于，

令，则，

所以，当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，故。

若，则，此时；

若，则，从而；

综上可得。