Question

如图，在四边形ABCO中，

OA

=2

CB

，其中O为坐标原点，A（4，0），C（0，2）．若M是线段OA上的一个动点（不含端点），设点M的坐标为（a，0），记△ABM的外接圆为⊙P．
（1）求⊙P的方程；
（2）过点C作⊙P的切线CT（T为切点），求CT的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求⊙P的圆心坐标，再求半径可得其方程．
（2）求⊙P的圆心的轨迹方程，可得PC的范围，再求得CT的取值范围．

解答：解：（1）由题意可知，⊙P的圆心是AB的中垂线和MA的中垂线的交点，B（2，2）AB中点（3，1），
AB的中垂线的斜率1，AB的中垂线方程：x-y-2=0；MA的中垂线方程x=2+

a

2

，⊙P的圆心（2+

a

2

，

a

2

），
半径是

a2 2 -2a+4

，
⊙P的方程：(x-2-

a

2

)2+(y-

a

2

)2=

a2

2

-2a+4，（0＜a＜4）
（2）由（1）可知，⊙P的圆心（2+

a

2

，

a

2

）的轨迹方程x-y-2=0；（2＜x＜4），PC的取值范围：2

2

＜|PC|＜4
切线CT的取值范围：2＜|CT|＜2

3

．

点评：本题考查圆的切线方程，直线方程，考查数形结合和等价转化的数学思想，是难题．