Question

（08年昆明市适应考试）（12分）如图，直三棱柱，平面，是棱上一点，是的中点，平面，，二面角的大小为.

（Ⅰ）求的长；

   （Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：解法一

（Ⅰ）连结，

     ∵平面，平面∩平面

∴

又∵是的中点

∴是的中点

    ∵

∴，

∴是二面角的平面角.

，

    在直角三角形中，，   ………… 6分

（Ⅱ）解：过 作，垂足为，连结，

∵是三角形的中位线，

∴

∵面

∴面

∴，又

     ∴平面

为在平面上的射影，

又∵，由三垂线定理逆定理，得

∴为二面角的平面角

∵，

在直角三角形中，，

   

    ∴二面角的大小为.      ……………… 12分

 

解法二：

（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系，则,

，

平面的法向量为由

得,

平面 ,.

所以点是棱的中点.

平面的法向量，，

即

（Ⅱ）设平面的法向量为，平面的法向量

，，

∵二面角为锐角

∴二面角的大小为