Question

4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=8$\sqrt{2}cos（θ-\frac{3π}{4}）$，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）．
（Ⅰ）将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C₂的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）若P为C₂上的动点，求点P到直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\end{array}\right.（t$为参数）的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，然后方程的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．消去参数求解参数方程的普通方程即可．
（Ⅱ）设P（8cosθ，3sinθ），求出直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，通过两角和与差的三角函数，求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由$ρ=8\sqrt{2}cos（θ-\frac{3π}{4}）$得ρ=-8cosθ+8sinθ，
所以ρ²=-8ρcosθ+8ρsinθ，故曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=-8x+8y，
即（x+4）²+（y-4）²=32，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=8cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$消去参数θ得C₂的普通方程为$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设P（8cosθ，3sinθ），直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\end{array}\right.（t$为参数）的普通方程为x-2y-7=0，…（7分）
故点P到直线l的距离为$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{8cosθ-6sinθ-7}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{10cos（θ+φ）-7}|$（其中$cosφ=\frac{4}{5}，sinφ=\frac{3}{5}$），
因此当$cos（θ+ϕ）=\frac{7}{10}$时，d_min=0，故点P到直线l的距离的最小值0．…（10分）

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．考查点到直线的距离公式的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．