Question

设函数，．
⑴求的极值；
(2)设函数（为常数），若使≤≤在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值；
(3)讨论方程的解的个数，并说明理由.

Answer 1

解：⑴令，得，
区间分别单调增，单调减，单调增，
于是当时，有极大值时，有极小值；
(2)由已知得在上恒成立，
由得  时，，时，，
故时，函数取到最小值.从而；
同样的，在上恒成立，
由得 时，； 时，，
故时，函数取到最小值. 从而，

由的唯一性知，；
(3)记=
①当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；
②当时，在定义域上为增函数.
，，所以，此时方程有唯一解。
③当时，，
当时，，所以在为减函数
当时，，所以在为增函数
所以，当时，  
（a）当时， ，所以，此时方程无解
（b）当   时， ，所以，此时方程有唯一解
（c）当时，，
因为且，所以方程在区间上有唯一解，
因为当时，，所以   
所以  
因为 ，所以
所以 方程在区间上有唯一解.
所以，此时方程有两解.
综上所述：当时，     方程无解；
当时， 方程有唯一解；            
当时，        方程有两解 。

略