Question

如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进

30

km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．

Answer 1

分析：依题意得，DC=

30

，推出BDC=30°，在△BDC中，在△ADC中，利用正弦定理得，求出BC、AC．在△ABC中，由余弦定理得AB=5．得到结果．

解答：解：依题意得，DC=

30

，∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC，∠DBC=120°，∠ADC=60°，∠DAC=45°．
在△BDC中，由正弦定理得，BC=

DCsin∠BDC

sin∠DBC

=

30 sin30°

sin120°

=

10

．（6分）
在△ADC中，由正弦定理得，AC=

DCsin∠ADC

sin∠DAC

=

30 sin60°

sin45°

=3

5

．（9分）
在△ABC中，由余弦定理得，AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
=(3

5

)2+(

10

)2-2×3

5

×

10

×cos45°=25．∴AB=5．
答：这两座建筑物之间的距离为5km．（12分）

点评：本题是中档题，考查利用正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，注意选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力．