Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为的坐标满足圆方程，且圆心满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，过与垂直的直线交圆于、两点，为线段中点，若的面积 ，求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）.

【解析】

（1）根据的坐标满足圆方程可得到的值，圆心满足，故圆心在椭圆上，将其代入可得椭圆方程；

（2）由题意可知，与直线平行，故点到直线的距离即为点到直线的距离，从而可以用表示出点到直线的距离，再用计算出弦长，从而得出关于的方程，进而得出结果.

解：（1）因为的坐标满足圆方程，

故当时，，

即，故，

因为圆心满足，

所以点在椭圆上，

故有，

联立方程组，解得，

所以椭圆方程为；

（2）因为直线交圆于、两点，为线段中点，

所以与直线垂直，

又因为直线与直线垂直，

所以与直线平行，

所以点到直线的距离即为点到直线的距离，

即点到直线的距离为，

设点

联立方程组，

解得，

由韦达定理可得，

，

所以，

所以的面积为，

所以，

即，

两边同时平方，化简得，

解得或（舍）

故.