Question

10．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2sin²A+3cos（B+C）=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{21}$，求sinB+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）使用三角函数恒等变换化简条件式子解出cosA；
（2）利用面积得出bc，使用余弦定理得出b+c，再次使用正弦定理得出sinB+sinC．

解答 解：（1）∵2sin²A+3cos（B+C）=0，
∴2sin²A-3cosA=0．即2-2cos²A-3cosA=0，
解得cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$=5$\sqrt{3}$，∴bc=20．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-61}{40}$=$\frac{1}{2}$，
∴b+c=9．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴sinB=$\frac{b}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{c}{2\sqrt{7}}$．
∴sinB+sinC=$\frac{b+c}{2\sqrt{7}}$=$\frac{9}{2\sqrt{7}}$=$\frac{9\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．