Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²+c²-$\sqrt{2}$bc=a²．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{4}{5}$，求该三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理可得cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合A∈（0，π）可得A=$\frac{π}{4}$；
（2）由题意和同角三角函数基本关系可得sinB，进而由正弦定理可得b，由和差角的三角函数公式可得sinC，代入三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²+c²-$\sqrt{2}$bc=a²．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合A∈（0，π）可得A=$\frac{π}{4}$；
（2）∵a=$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{4}{5}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{6}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{63}{50}$

点评 本题考查余弦定理，涉及正弦定理和三角函数公式，属中档题．