Question

已知数列{bn}满足b1=

1

2

，且bn+1=

1

2

bn
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设a_n=nb_n，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的概念可知{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（2）由于a_n=nb_n=n•(

1

2

)n，从而可知S_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，利用错位相减法可求得S_n=2-(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，从而可证得结论．

解答：解　（1）∵b₁=

1

2

，且

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n=(

1

2

)n．
（2）证明：记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
∵a_n=nb_n=n•(

1

2

)n，
∴S_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，

1

2

S_n=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+（n-1）×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，
两式相减得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
整理得S_n=2-(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n＜2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式及错位相减法求和，属于中档题．