题目内容
已知数列{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），若数列{an}满足a1=1，an=bn(
+
+…+
)(n≥2，n∈N*)
（1）求证：数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：(1+
)(1+
)…(1+
)＜3．
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
（1）求证：数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
分析：（1）由{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），知bn+1-2bn=3（bn-2bn-1），故{bn+1-2bn}成等比数列，由此能求出bn=3n-2n．
（2）由an=bn(
+
+…+
)，n∈N*，推导出
=
，从而得到（1+
）（1+
）…（1+
）=（
）（
）（
）…（
）=
，n∈Z*．由此能够证明(1+
)(1+
)…(1+
)＜3．
（2）由an=bn(
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| an+1 |
| bn |
| bn+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| a1+1 |
| a1 |
| a2+1 |
| a2 |
| a3+1 |
| a3 |
| an+1 |
| an |
| n |
 |
| k=1 |
| 1 |
| 3k-2k |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
解答：解：（1）∵{bn}满足b1=1，b2=5，bn+1=5bn-6bn-1（n≥2），
∴bn+1-2bn=3（bn-2bn-1），故{bn+1-2bn}成等比数列，
∴bn+1-2bn=3n-1（b2-b1）=3n，
∴bn+1=2bn+3n，
∴bn+1-3n+1=2（bn-3n），
∴bn-3n=2n-1（b1-3）=-2n，
∴bn=3n-2n．
（2）an=bn(
+
+…+
)，n∈N*，
∴an+1=bn•(
+
+…+
)+1=bn（
+
+…+
），
∴
=
=
，
∴（1+
）（1+
）…（1+
）=（
）（
）（
）…（
）
=
•（
）•（
）…（
）•（an+1）
=
•
•
•
…
•bn•（
+
+…+
）
=
(
+
+…+
)
=
，n∈Z*．
∵1-（
）k≥
，不等式左侧单调递增，右侧单调递减，当且仅当k=1时等式成立，
∴3k-2k≥（
）k-1，
∴
≤（
）k-1，
∴
≤
(
)k-1=
=3，
∴(1+
)(1+
)…(1+
)＜3．
∴bn+1-2bn=3（bn-2bn-1），故{bn+1-2bn}成等比数列，
∴bn+1-2bn=3n-1（b2-b1）=3n，
∴bn+1=2bn+3n，
∴bn+1-3n+1=2（bn-3n），
∴bn-3n=2n-1（b1-3）=-2n，
∴bn=3n-2n．
（2）an=bn(
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
∴an+1=bn•(
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
∴
| an+1 |
| an+1 |
bn•(
| ||||||||
bn+1•(
|
| bn |
| bn+1 |
∴（1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| a1+1 |
| a1 |
| a2+1 |
| a2 |
| a3+1 |
| a3 |
| an+1 |
| an |
=
| 1 |
| a1 |
| a1+1 |
| a2 |
| a2+1 |
| a3 |
| an-1+1 |
| an |
=
| 1 |
| a1 |
| b1 |
| b2 |
| b2 |
| b3 |
| b3 |
| b4 |
| bn-1 |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
=
| b1 |
| a1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
=
| n |
|
| k=1 |
| 1 |
| 3k-2k |
∵1-（
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3•2k-1 |
∴3k-2k≥（
| 3 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 3k-2k |
| 2 |
| 3 |
∴
| n |
|
| k=1 |
| 1 |
| 3k-2k |
| n |
|
| k=1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 | ||
1-
|
∴(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．
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