题目内容
已知数列{an}是由正数组成的等比数列，a3=8，前3项的和S3=14（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{bn}满足
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn |
| an |
| n |
| 2n |
分析：（Ⅰ）设出等比数列{an}的公比为q，根据a3=8，前3项的和S3=14，列出关于首项和公比的方程组，消去首项得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，进而求出首项的值，根据首项和公比写出数列{an}的通项公式即可；
（Ⅱ）令n=1代入已知的等式中，由a1的值求出b1的值，然后当n≥2时，已知的等式记作①，把n换为n-1得到另一个等式，记作②，①-②且由（Ⅰ）求出的an的通项公式即可得到bn的通项公式，把b1的值代入也满足，利用bn+1-bn即可求出数列的公差，进而推出数列{bn}是等差数列，得证．
（Ⅱ）令n=1代入已知的等式中，由a1的值求出b1的值，然后当n≥2时，已知的等式记作①，把n换为n-1得到另一个等式，记作②，①-②且由（Ⅰ）求出的an的通项公式即可得到bn的通项公式，把b1的值代入也满足，利用bn+1-bn即可求出数列的公差，进而推出数列{bn}是等差数列，得证．
解答：解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
则q＞0且
，
①÷②得：
=
，整理得：3q2-4q-4=0，
解得：q=-
（舍去），q=2，∵a1=2，∴an=2n（n∈N+）；
（Ⅱ）当n=1时，
=
，a1=2，∴b1=1，
当n≥2时，
+
+…+
=
①，
+
+…+
=
②（n∈N*），
①-②得：
=
-
=
，又an=2n，
∴bn=2-n（n≥2），又∵b1=1=2-1，∴bn=2-n（n∈N+），
∵bn+1-bn=-1，
∴数列{bn}是以1为首项，-1为公差的等差数列．
则q＞0且
|
①÷②得：
| 1+q+q2 |
| q2 |
| 7 |
| 4 |
解得：q=-
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）当n=1时，
| b1 |
| a1 |
| 1 |
| 2 |
当n≥2时，
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn |
| an |
| n |
| 2n |
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn-1 |
| an-1 |
| n-1 |
| 2n-1 |
①-②得：
| bn |
| an |
| n |
| 2n |
| n-1 |
| 2n-1 |
| 2-n |
| 2n |
∴bn=2-n（n≥2），又∵b1=1=2-1，∴bn=2-n（n∈N+），
∵bn+1-bn=-1，
∴数列{bn}是以1为首项，-1为公差的等差数列．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等差数列的确定方法，是一道中档题．学生在第二问中求出bn的通项公式后要注意把b1的值代入进行验证．
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