Question

7．设全集U=R，A={x∈R|a≤x≤3a-1}，B={x∈R|3x²-8x+4≤0}．
（1）若a=1，求（∁_UA）∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，求出集合A，B，利用集合的基本运算即可求（∁_UA）∩B；
（2）若A⊆B，根据集合的基本关系，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，则A={x|1≤x≤2}，B={x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}，
由∁_UA={x|x＜1，或x＞2}，
∴（∁_UA）∩B={x|x＜1，或x＞2}∩{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}={x|$\frac{2}{3}$≤x＜1}；
（2）∵A={x∈R|a≤x≤3a-1}，A⊆B，
∴①a＞3a-1，即a＜$\frac{1}{2}$，A=∅成立；  
②a≤3a-1，即a≥$\frac{1}{2}$时，A=（a，3a-1）⊆（$\frac{2}{3}$，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1≤2}\\{a≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$≤a≤1，
综上实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{1}{2}$）∪[$\frac{2}{3}$，1]．

点评 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，是基础题．