Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{i}$+tanθ$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{i}$-tanθ$\overrightarrow{j}$，θ∈[0，π），若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，则θ的取值范围$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．

Answer 1

分析 ∵$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（1，tanθ）•（1，-tanθ）=1-tan²θ＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不同向共线，θ∈[0，π），解出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（1，tanθ）•（1，-tanθ）=1-tan²θ＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不同向共线．
又θ∈[0，π），
解得θ∈$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．
故答案为：$（0，\frac{π}{4}]$∪$[\frac{3π}{4}，π）$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量共线定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．