Question

1．已知函数f（x）=ax-ln x，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 化简不等式，得到a＞$\frac{1+lnx}{x}$在（1，+∞）内恒成立．设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax-ln x，f（x）＞1在（1，+∞）内恒成立，
∴a＞$\frac{1+lnx}{x}$在（1，+∞）内恒成立．
设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
∴x∈（1，+∞）时，g′（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$＜0，
即g（x）在（1，+∞）上是减少的，∴g（x）＜g（1）=1，
∴a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．