题目内容
13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若F2关于渐近线的对称点为M，且|MF1|=$\sqrt{2}$c，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 2 |
分析 取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，设点F2（c，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n），利用轴对称的性质可得m，n用a，b，c表示，利用两点间的距离公式及|MF1|=$\sqrt{2}$c，以及离心率公式即可得出．
解答 解：取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，
设点F2（c，0）关于此直线的对称点M的坐标为（m，n），
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}•\frac{b}{a}=-1}\\{\frac{n}{2}=\frac{b}{a}•\frac{m+c}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2{a}^{2}}{c}-c}\\{n=\frac{2ab}{c}}\end{array}\right.$．即M（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$）．
有|MF1|=$\sqrt{2}$c，可得$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}}{c}-c+c）^{2}+（\frac{2ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
化为c=$\sqrt{2}$a．则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．
点评 本题综合考查了双曲线的性质、两点间的距离公式、轴对称的性质等基础知识与基本方法，属于中档题．
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18．已知点M是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F是其右焦点，P为线段MF的中点，若|OM|=|OF|（0为坐标原点）且|OP|=$\frac{1}{2}$a，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2$\sqrt{2}$ |
2．点G为△ABC的重心，设$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AB}$=（ ）
| A． | $\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ | B． | $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ | C． | $\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$ | D． | 2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ |
