Question

已知函数.
（1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值；
（2）试讨论的单调性；
（3）设，对任意的，均存在，使得.试求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先求出函数的导数，利用条件“曲线在和处的切线相互平行”得到，从而在方程中求出的值；（2）对参数的符号进行分类讨论，以确定方程的根是否在定义域内，并对时，就导数方程的根与的大小进行三种情况的分类讨论，从而确定函数的单调区间；（3）将问题中的不等式等价转化为，充分利用（2）的结论确定函数在区间上的最大值，从而求出参数的取值范围.
试题解析：函数定义域为，
（1）∵函数
 
依题意，，即，解得；
（2），
①当时，，，
在区间上，；在区间上，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，
在区间和上，；在区间上，，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，，故的单调递增区间为；
④当时，，
在区间和上，；在区间上，，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（3）由已知，在(0,2]上有f(x)_max＜g(x)_max.
由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，
①当a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，
故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2
＝－2a－2＋2ln2，
∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a≤.
②当a＞时，f(x)在]上单调递增，在]上单调递减，
故f(x)_max＝f＝－2－－2lna.
由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，
∴－2－2lna＜0，即f(x)_max＜0，符合题意。
综上所述，a＞ln2－1.