Question

已知函数，f '（x）为f（x）的导函数，若f '（x）是偶函数且f '（1）=0.
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；
⑶若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

Answer 1

⑴；⑵的最小值为；⑶.

试题分析：⑴，由是偶函数得.又，所以，由此可得解析式；
⑵对于区间上任意两个自变量的值，都有，则只需即可.所以接下来就利用导数求在区间上的最大值与最小值，然后代入解不等式即可得的最小值．⑶易知点不在曲线上.凡是过某点的切线（不是在某点处的切线）的问题，都要设出切点坐标然后列方程组..
设切点为．则．又，∴切线的斜率为．
由此得，即．下面就考查这个方程的解的个数.
因为过点，可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．即函数有三个不同的零点．接下来就利用导数结合图象研究这个函数的零点的个数.
试题解析：⑴∵，1分
由是偶函数得.又，所以3分
∴．4分
⑵令，即，解得．5分

						+
			极大值		极小值

∵，，
∴当时，，．6分
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为．8分
⑶∵点不在曲线上，
∴设切点为．则．
∵，∴切线的斜率为．
则，即．10分
因为过点，可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
即函数有三个不同的零点．11分
则．
令，解得 或．

	+				+
		极大值		极小值

∴ 即 解得．12分