Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能推导出数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出结果．
（Ⅱ）由an=2n，知b_n=log₃a_n=nlog₃2，由此利用等差数列前n项和公式能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴当n=1时，S₁=2a₁-2，∴a₁=2，------------------------（2分）
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1（n≥2）------------------------（5分）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列
∴an=2n------------------------（7分）
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ，
∴bn=log3an=log32n=nlog32--------（9分）
∴T_n=（1+2+…+n）log₃2=

n(n+1)

2

log32，-----------------------（11分）
∴Tn=

n(n+1)

2

log32-------------------------（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意迭代法的合理运用，是中档题．