Question

1．已知函数f（x）=a^x-mx，其中a＞0，且a≠1．
（1）若当m=2，函数f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-（2-e）y+8=0垂直，求函数f（x）的极值．
（2）当a＞1时，若关于x的方程f（x）=x²-mx仅有1解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=e，进而求得f（x）的单调区间，可得极值；
（2）a^x=x²（a＞1）仅有1解．当x＜0时，函数y=a^x与函数y=x²图象恒有一个交点；由题意x＞0没有交点，即a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立，运用导数求得相切的情况，结合图象即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=a^x-2x的导数为f′（x）=a^xlna-2，
函数f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为alna-2，
由切线与直线x-（2-e）y+8=0垂直，可得alna-2=e-2，
解得a=e，
即有f（x）=e^x-2x的导数为f′（x）=e^x-2，
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=ln2处取得极小值，且为2-2ln2，无极大值；
（2）关于x的方程f（x）=x²-mx仅有1解，即为
a^x=x²（a＞1）仅有1解．
当x＜0时，函数y=a^x与函数y=x²图象恒有一个交点；
由题意x＞0没有交点，即a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立，
设y=a^x与函数y=x²图象相切的切点为（m，n），
则a^m=m²，且a^mlna=2m，
解得a=${e}^{\frac{2}{e}}$，m=e．
即有a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立时，a＞${e}^{\frac{2}{e}}$．
则实数a的取值范围是（${e}^{\frac{2}{e}}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想以及数形结合的思想方法，属于中档题．