Question

11．用边长为10cm的正方形铁片，在四个角剪去大小相同的小正方形，将四边形折起做一无盖小盒，问剪去的小正方形的边长为多少时，使得小盒的容积最大．

Answer 1

分析 首先由题意建立起无盖铁盒的体积函数，变形成为（10-2x）•（10-2x）•4x，分析得到其“和”是定值，联想到利用基本不等式利用$\frac{a+b+c}{3}$≥$\root{3}{abc}$求最值，当且仅当a=b=c时取等号．

解答 解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
则无盖铁盒体积V=（10-2x）²•x．
所以：V=（10-2x）²•x
=$\frac{1}{4}$•（10-2x）•（10-2x）•4x≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{10-2x+10-2x+4x}{3}$）³
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{20}{3}$）³=$\frac{2000}{27}$．
当且仅当10-2x=4x时，即x=$\frac{5}{3}$cm时小盒的容积取得最大值．

点评 此题主要考查利用基本不等式求最值在实际问题中的应用．前提是“一正二定三相等”，需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．然后应用不等式．