Question

已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）求直线AB的方程；
（3）若曲线C上存在一点D，使，求m的值及点D到直线AB的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过已知条件，满足双曲线的定义，直接求出曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直线与双曲线联立方程组，通过弦长公式求出直线的斜率，即可求直线AB的方程；
（3）求出A，B，利用，即可求m的值，利用点到直线的距离求解点D到直线AB的距离．
解答：解：（1）由双曲线的定义可知曲线C是以为焦点的双曲线的左半支
且，故b=1，
所以轨迹C的方程是x²-y²=1．（x＜0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得方程组消去y得（1-k²）x²+4kx-5=0
又已知直线与曲线C交于A、B两点，故有
解得
∵
=
∴
整理得，7k⁴-23k²-20=0
解得 （舍）
由k²=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直线AB的方程为y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由，解得
不妨设，
由，故有．
将D点坐标代入曲线C的方程，得．
解得，
但当时，点D在双曲线右支上，不合题意，
∴
点D的坐标为，
D到线AB的距离为．
点评：本题考查双曲线的定义的应用，弦长公式的应用，点到直线的距离公式，考查设而不求，考查计算能力．