题目内容

（22）

    已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积S.

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识以及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设，由题意建立方程组

消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

∵

依题意得

整理后得

∴或

但   ∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点

将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴， 点的坐标为

到的距离为

∴的面积

练习册系列答案
相关题目
已知两定点E（-
2
，0），F（
2
，0），动点P满足
PE
•
PF
=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足
PQ
=
2
MQ
，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为
2
2
，求|AB|的最大值及对应的直线l的方程．
已知两定点E（-
2
，0），F（
2
，0），动点P满足
PE
•
PF
=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足
PQ
=
2
MQ
，点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线C于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离为
2
2
，求|AB|的最大值．
（2013•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足
0≤
OP
•
OA
≤1
0≤
OP
•
OB
≤2.
则点P构成的区域的面积是
2
2
；点Q（x+y，x-y）构成的区域的面积是
4
4
．
（2010•上海模拟）设向量
s
=(x+1，y)，
t
=(y，x-1)(x，y∈R)，满足|
s
|+|
t
 |=2
2
，已知两定点A（1，0），B（-1，0），动点P（x，y），
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）已知直线m：y=x+t交轨迹C于两点M，N，（A，B在直线MN两侧），求四边形MANB的面积的最大值．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），求证：线段OG的长为定值．

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