Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，点（n，S_n）在函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，求证：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（1）利用点在线上，求出数列的前n项和，再利用数列前n项和与通项的关系求出数列通项a_n，得到本题结论；（2）由（1）的结论，先求出数列{c_n}的通项公式，再利用放缩法和裂项法求和，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n．
∴当n=1时，
a1=S1=

1

2

×12+

3

2

×1=2；
当n≥2，n∈N^*时，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)=n+1．
∴a_n=n+1，n∈N^*．
（2）由（1）知：a_n=n+1，n∈N^*，
∴c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

(n+1)2+(n+2)2

(n+1)(n+2)

=2+

1

n2+3n+2

，
∴c_n＞2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
∴cn=2+

1

(n+1)(n+2)

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
∴c₁+c₂+…+c_n
=2n+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

点评：本题考查了数列通项与前n项和的关系、放缩法、裂项法求和，本题难度适中，有一定的计算量，属于中档题．