Question

如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A­BD­C为60°，如图(2)．

(1)求证：AE⊥平面BDC；
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．

Answer 1

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，
则AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.
由余弦定理知
AE＝＝.
∵AE²＋EF²＝AF²，∴AE⊥EF.
∵AB＝AD，F为BD中点．∴BD⊥AF.
又BD＝2，DC＝1，BC＝，
∴BD²＋DC²＝BC²，
即BD⊥CD.
又E为BC中点，EF∥CD，∴BD⊥EF.
又EF∩AF＝F，
∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，
∵BD∩EF＝F，
∴AE⊥平面BDC.
(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，

C，
B，
D，＝(2,0,0)，
＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，
则y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为.