Question

【题目】已知函数，.

（1）若在处的切线的方程为，求，的值并求此时的最值；

（2）在（1）的条件下，不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），，，无最大值；（2）

【解析】

（1）利用导数的几何意义和点斜式，即可求出切线方程，进而求出，即可，再利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的最值．

（2）由，方法一：对和两种情况进行讨论，其中当时，令，利用导数在函数最值中的应用，求解即可；方法二：采用分离参数法，利用极限思想解题即可；方法三：，对进行分类讨论，利用导数在函数单调性和最值中的应用解题即可.

解：（1），令得：，由题意：，

∴，

∴，

由得：, 由得：

∴在上单调递减；在上单调递增

∴，无最大值；

（2）

法一：①当时，，

②当时：

令，则

∵∴

（i）若，则 在上单调递增， 合题意；

（ii）若，令得：，由得：，所以在上单调递减

∴，这与恒成立矛盾，所以不合题意；

综上的取值范围是

法二：①当时，

②当时：

令，则，令，则

所以在单调递增，∴，即，∴在上单调递增

又

∴，若使恒成立，只需

∴的取值范围是

（说明：①无论法一还是法二，若考生不对进行讨论而得到，均需扣1分；②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答题情况酌情扣1-2分）

法三：

令，则，令，则

显然在上单调递增，∴

（i）当即时，恒成立

∴在上单调递增

∴即

∴在上单调递增

∴恒成立，即合题意；

（ii）当即时，，

∴存在唯一使，当时，，∴在上单调递减，

∴，即

所以在上单调递减，所以，这与在时恒成立矛盾，所以不合题意；

综上：的取值范围是