题目内容
【题目】设集合
，设集合
是集合
的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为
的子集的元素个数之和为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：
只有1种情况；
且
，共有
种情况；
且
，共有种
情况；以此类推……
，有1（
）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和
，计算可得：
.再思考可以分为
等1949类，问题可得解.
当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：
集合只含2个元素：只有1种情况；
集合含有3个元素：且，共有种情况；
集合含有4个元素：且，共有 种情况；
以此类推……
集合含有72个元素：，有（）种情况.
所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：
①②两式对应项相加，得：
同理可得：
所有子集元素个数之和都是
，所以集合
所有直径为
的子集的元素个数之和为
.
故选：C
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