Question

20．已知函数f（x）=x²+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，求证：M≥b+1．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的≥0?△=（a-2）²-4（b-a）≤0即可求解．
（2）由题意x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，即f（1）=1+a+b≤M，f（-1）=1-a+b≤M，利用不等式的性质可得M≥b+1．

解答 解：由题意：函数f（x）=x²+ax+b．
∴f（x）≥2x+a?x²+（a-2）x+（b-a）≥0；
∵对任意的x∈R恒成立，可得：△=（a-2）²-4（b-a）≤0，
$?b≥1+\frac{a^2}{4}?b≥1（∵a∈R）$
故得b的取值范围是[1，+∞）．
（2）证明：x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为M，
即f（1）=1+a+b≤M，f（-1）=1-a+b≤M
∴2M≥2b+2，即M≥b+1．
得证．

点评 本题考查了二次函数大于0的恒成立的问题，转化为判别式求解．同时考查了同向不等式相加的性质．属于基础题．