Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处的切线斜率均为0．
（1）求a，b的值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处的切线斜率均为0，建立方程，即可求a，b的值；
（2）设切点，确定切线方程，代入点A（0，16），即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-3，
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处的切线斜率均为0．
∴f′（1）=f′（-1）=0，
∴

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，
∴a=1，b=0；
（2）函数f（x）=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上，
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，
设切点为M（a，a³-3a），则f′（a）=3a²-3，
∴切线方程为y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
点A（0，16）代入可得16-（a³-3a）=（3a²-3）（-a），
∴a=-2，
∴切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．