题目内容

设a＞0，b＞0，求证：(
a2
b
)
1
2
(
b2
a
)
1
2
≥a
1
2
b
1
2
；．
分析：欲证原不等式成立，应用比较法，即证明它们的差或商大于0或1即可，考虑到本题带有指数运算，一方面可作差，另一方面也可作商，两种方法均可．
解答：证法一：左边-右边=
(
a
)3+(
b
)3
ab
-（
a
+
b
）
=
(
a
+
b
)(a-
ab
+b)-
ab
(
a
+
b
)
ab

=
(
a
+
b
)(a-2
ab
+b)
ab
=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)2
ab
≥0．
∴原不等式成立．
证法二：左边＞0，右边＞0，
左边
右边
=
(
a
+
b
)(a-
ab
+b)
ab
(
a
+
b
)
=
a-
ab
+b
ab
≥
2
ab
-
ab
ab
=1．
∴原不等式成立．
点评：作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号，从而降低了问题的难度．作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论．
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