Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若{a_n}是公差为d的等差数列，请写出并推导S_n的计算公式；
（2）若a_n=n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式、“倒序相加”即可证明；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∴S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，S_n=[a₁+（n-1）d]+…+（a₁+d）+a₁，
∴2S_n=n[2a₁+（n-1）d]，∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d，或Sn=

n(a1+an)

2

．
（2）∵a_n=n，∴S_n=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“倒序相加”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．