Question

4．已知以点C为圆心的圆经过点A（-1，2）和点B（3，4），且圆心在直线x+3y-15=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）设点P在圆C上，求出高的最大值，弦AB的长，即可求△PAB的面积的最大值．

解答 解：（1）取弦AB的中点M，则M的坐标为（1，3），
∵A（-1，2），B（2，4）∴${k_{AB}}=\frac{4-2}{3-（-1）}=\frac{1}{2}$，∴k_CM=-2，
∴直线CM的方程为：y-3=-2（x-1），即2x+y-5=0，…（2分）
∵圆心在直线x+3y-15=0上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-5=0}\\{x+3y-15=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=5}\end{array}}\right.$，即C（0，5），…（4分）
∴半径$r=\sqrt{{{（0+1）}^2}+{{（5-2）}^2}}=\sqrt{10}$，∴圆C的方程为：x²+（y-5）²=10；…（6分）
（2）设△PAB的高为h，
由（1）可知${k_{AB}}=\frac{1}{2}$，∴直线AB的方程为：$y-4=\frac{1}{2}（x-3）$，即x-2y+5=0，…（7分）∵$|{CM}|=\frac{{|{-2×5+5}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\sqrt{5}$，…（9分）
∴${h_{max}}=|{CM}|+r=\sqrt{5}+\sqrt{10}$，…（10分）
又$|{AB}|=\sqrt{{{（3+1）}^2}+{{（4-2）}^2}}=2\sqrt{5}$，…（12分）
∴$S{\;}_{max}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×（\sqrt{5}+\sqrt{10}）=5+5\sqrt{2}$，…（13分）

点评 本题考查圆的方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．