Question

（本小题满分16分）

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．

(1) 求实数的值；                                                 (6分)

(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；               (5分)

(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？                   (5分)

Answer 1

（本小题满分16分）（1）当时，，                            ………2分

由题意得：，即，                          ………4分

解得：。                                                     ………6分

（2）由（1）知：

①当时，，

解得；解得或

∴在和上单减，在上单增，

由得：或，                           ………7分

∵　，

∴在上的最大值为。                                     

②当时，，

当时，；当时，在单调递增；

∴在上的最大值为。                                       --……9分

∴当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为。                          …………11分

（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。

∵是以为直角顶点的直角三角形

∴，即 （*）                           ……13分

是否存在等价于方程（*）是否有解。

①若，则，代入方程（*）得：，

即：，而此方程无实数解，从而，                    

∴，代入方程（*）得：，

即：，                                                

设，则在恒成立，

∴在上单调递增，从而，则的值域为。

∴当时，方程有解，即方程（*）有解。

∴对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。              ……16分