题目内容
各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数
的图象上，（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记
，求证：
．
【答案】分析：（1）根据点（an，Sn）在函数
的图象上，可得Sn=
an2+
an-3，再写一式，两式相减，即可求出数列{an}的通项公式；
（2）将（1）的结论代入，再采用裂项法求和，即可证得结论．
解答：（1）解：∵点（an，Sn）在函数
的图象上，
∴Sn=
an2+
an-3；Sn-1=
an-12+
an-1-3（n≥2）
∵Sn-Sn-1=an，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵数列{an}各项均为正数
∴an-an-1-1=0（n≥2）
∴数列{an}为等差数列
∵S1=a1=
a12+
a1-3
∴a1=3
∴an=a1+（n-1）d=2+n
（2）证明：bn=nan=n（n+2）
∴
∴
=
=
＜
∴
．
点评：本题考查数列与函数，数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，求通项中，再写一式，两式相减是常用方法．
的图象上，可得Sn=
an2+
an-3，再写一式，两式相减，即可求出数列{an}的通项公式；（2）将（1）的结论代入，再采用裂项法求和，即可证得结论．
解答：（1）解：∵点（an，Sn）在函数
的图象上，∴Sn=
an2+
an-3；Sn-1=
an-12+
an-1-3（n≥2）∵Sn-Sn-1=an，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵数列{an}各项均为正数
∴an-an-1-1=0（n≥2）
∴数列{an}为等差数列
∵S1=a1=
a12+
a1-3∴a1=3
∴an=a1+（n-1）d=2+n
（2）证明：bn=nan=n（n+2）
∴
∴
=
=
＜
∴
．点评：本题考查数列与函数，数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，求通项中，再写一式，两式相减是常用方法．
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