Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，S_n）在函数y=

1

2

x2+

1

2

x-3的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=nan(n∈N*)，求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）根据点（a_n，S_n）在函数y=

1

2

x2+

1

2

x-3的图象上，可得S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n-3，再写一式，两式相减，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）将（1）的结论代入，再采用裂项法求和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵点（a_n，S_n）在函数y=

1

2

x2+

1

2

x-3的图象上，
∴S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n-3；S_n-1=

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1-3（n≥2）
∵S_n-S_n-1=a_n，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵数列{a_n}各项均为正数
∴a_n-a_n-1-1=0（n≥2）
∴数列{a_n}为等差数列
∵S₁=a₁=

1

2

a₁²+

1

2

a₁-3
∴a₁=3
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n
（2）证明：b_n=na_n=n（n+2）
∴

1

bn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

3

4

．

点评：本题考查数列与函数，数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，求通项中，再写一式，两式相减是常用方法．