Question

7．如果函数f（x）满足：在定义域D内存在x₀，使得对于给定常数t，有f（x₀+t）=f（x₀）•f（t）成立，则称f（x）为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：
（1）判断函数f（x）=2x和g（x）=$\frac{2}{x}$是否为1级分配函数？说明理由；
（2）问函数φ（x）=）$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值范围；若不能请说明理由；
（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t（t∈R）函数φ（x）=$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）都是其定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1级分裂函数，则存在非0实数x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，得x₀
若f（x）=2x是1级分裂函数，即存在实数x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀，
（2）由题意，a＞0，D=R．存在实数x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化简得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
当a=5时，x₀=-1，符合题意
当a＞0且a≠5时，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化简得a²-30a+25≤0，解得实数a的取值范围
（3）当t=0时，满足条件的a=1，若存在实数a满足题意，a只能取1．再验证a=1是否满足条件．

解答 解：（1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1级分裂函数，则存在非0实数x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，即x₀=-2，
所以函数$f（x）=\frac{2}{x}$是1级分裂函数．（2分）
若f（x）=2x是1级分裂函数，即存在实数x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀=1，
故f（x）=2x是1级分裂函数                                      （3分）
（2）由题意，a＞0，D=R．存在实数x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，（4分）
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化简得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
当a=5时，x₀=-1，符合题意；
当a＞0且a≠5时，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化简得a²-30a+25≤0，解得$a∈[15-10\sqrt{2}，5）∪（5，15+10\sqrt{2}]$．        （7分）
综上，实数a的取值范围是$[15-10\sqrt{2}，15+10\sqrt{2}]$．
（3）存在，a=1
当t=0时，满足条件的a=1，若存在实数a满足题意，a只能取1．
下面验证a=1是否满足条件．
∵f（x₀+t）=f（x₀）•f（t），∴（x+t）²+1=（x²+1）（t²+1）⇒t=0或t=$\frac{2}{x}$，
故t可取任意实数，故a=1满足条件．

点评 本题考查了函数的性质及新定义问题，考查了运算能力，属于难题．