Question

【题目】设函数 ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程7x﹣4y﹣12=0可化为 ，当x=2时， ，

又 ，于是 ，解得 ，故

（2）解：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由 知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为 ，即

令x=0，得 ，从而得切线与直线x=0的交点坐标为 ；

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为 ．

故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

【解析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2）在曲线上，利用方程联立解出a，b（2）可以设P（x0 ， y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．
【考点精析】本题主要考查了导数的几何意义和一般式方程的相关知识点，需要掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）才能正确解答此题．