Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点M是PD的中点，作ME⊥PC，交PC于点E．

（1）求证：PB∥平面MAC；
（2）求证：PC⊥平面AEM；
（3）求二面角A﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=1．

， ，所以 ，

即PB∥MG，因此，PB∥平面MAC

（2）证明： ， ，

故 ，

所以PC⊥AM，又PC⊥EM，

所以 PC⊥平面AEM

（3）解：由（2）知PC⊥AE，故MEA是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

设E=（x，y，z），则 ．因为 ，

所以（x，y，z﹣1）=k（1，1，﹣1），

即x=k，y=k，z=1﹣k．

所以 ，

所以k= ，点 ．

又点 ，所以 ， =（ ， ，﹣ ），

故 ，

所以∠MEA=60°，即二面角A﹣PC﹣D的大小为60°

【解析】（1）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可证明PB∥平面MAC；（2）根据线面垂直的判定定理结合向量法即可证明PC⊥平面AEM；（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合向量即可求二面角A﹣PC﹣D的大小．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．