Question

【题目】已知点P（1，3），圆C：（x﹣m）2+y2= 过点A（1，﹣ ），F点为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线PF与圆相切．
（1）求m的值与抛物线的方程；
（2）设点B（2，5），点 Q为抛物线上的一个动点，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：点A代入圆C方程，得（1﹣m）2+（﹣ ）2= ，解之得m=1．

∴圆C方程为：（x﹣1）2+y2= ．

①当直线PF的斜率不存在时，不合题意．

②当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF：y=k（x﹣1）+3，即kx﹣y﹣k+3=0．

∵直线PF与圆C相切，∴C到PF的距离为 = ，解之得k=1或﹣1．

当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为﹣2，不合题意舍去；

当k=﹣1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，

∴ =4，可得抛物线方程为y2=16x

（2）解：∵P（1，3），B（2，5），∴ ，

设Q（x，y），得

∴ =﹣（x﹣2）+（﹣2）（y﹣5）=﹣x﹣2y+12．

=﹣ y2﹣2y+12=﹣ （y+16）2+28

∵y∈R，得y=﹣16时 的最大值等于28

因此， 的取值范围为（﹣∞，28]．

【解析】（1）点A坐标代入圆C方程解出m=1，再设出直线PF方程，根据PF与圆C相切利用点到直线的距离公式解出k=±1，讨论可得k=1不符合题意，而k=﹣1时算出 =4，得抛物线方程为y2=16x；（2）设Q（x，y），由向量的坐标运算公式，算出 关于x、y的表达式，结合抛物线方程化简得 =﹣ y2﹣2y+12=﹣ （y+16）2+28，利用二次函数的图象与性质即可得到 的取值范围为（﹣∞，28]．