Question

函数y=a^x-2（a＞0且a≠1，-1≤x≤1）的值域是[-

5

3

，1]，则实数a=（　　）

• A、3
• B、

  1

  3

• C、3或

  1

  3

• D、

  2

  3

  或

  3

  2

Answer 1

分析：当a＞0且a≠1时，函数为指数型函数，它的单调性与底数a的大小有关，需要分情况进行讨论解决．当a＞1时，函数y=a^x-2（a＞0且a≠1，-1≤x≤1）是增函数；当0＜a＜1时，函数y=a^x-2（a＞0且a≠1，-1≤x≤1）是减函数．由此结合条件建立关于a的不等式组，解之即可求得答案．

解答：解：当a＞1时，函数y=a^x-2（a＞0且a≠1，-1≤x≤1）是增函数，
∵值域是[a^-1-2，a-2]，∴

1 a -2=- 5 3 a-2=1

?a=3；
当0＜a＜1时，函数y=a^x-2（a＞0且a≠1，-1≤x≤1）是减函数，
∵值域是[a-2，a^-1-2]，∴

1 a -2=1 a-2=- 5 3

?a=

1

3

．
综上所述，可得实数a=3或

1

3

故选C．

点评：本题主要考查了指数函数的定义、解析式、定义域和值域，解答关键是利用函数的单调性是求解函数值域的有效手段之一，但含有参数时往往需要讨论．