Question

函数y=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为

8

．

Answer 1

分析：利用a⁰=1（a＞0且a≠1）可得函数y=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象所过的定点A，代入直线mx+ny-1=0可得m，n的关系，再利用基本不等式可得

1

m

+

2

n

的最小值．

解答：解：当x=2时，y=a^2-2=1，∴函数y=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，1）．
∵点A在直线mx+ny-1=0上，∴2m+n=1．
∵mn＞0，∴

1

m

+

2

n

=(2m+n)(

1

m

+

2

n

)=2+2+

n

m

+

4m

n

≥4+2

n m 4n m

=8，当且仅当n=2m=

1

2

时取等号．
因此

1

m

+

2

n

的最小值为8．
故答案为8．

点评：本题考查了a⁰=1（a＞0且a≠1）的性质、基本不等式的性质和直线过定点问题，属于基础题．