Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点，
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹。

Answer 1

解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
可求得重心，外心F，垂心，
当时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；
当时，设G，H所在直线的斜率为k_GH，F，G所在直线的斜率为k_FG，
因为，，
所以，G，F，H三点共线，
综上可得，G，F，H三点共线；
（Ⅱ）若FH∥OB，由，得，
配方得，
即，
所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），四点。