Question

已知O（0，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），若k

OA

+（2-k）

OB

+

OC

=

0

，（0＜k＜2），则cos（α-β）的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根据已知等式，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出sinγ与cosγ，根据cos²γ+sin²γ=1变形，表示出cos（α-β），利用二次函数的性质及k的范围，即可确定出cos（α-β）的最大值．

解答：解：∵O（0，0），A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），且k

OA

+（2-k）

OB

+

OC

=

0

，
∴kcosα+（2-k）cosβ+cosγ=0，ksinα+（2-k）sinβ+sinγ=0，
即cosγ=-（kcosα+（2-k）cosβ），sinγ=-（ksinα+（2-k）sinβ），
∵cos²γ+sin²γ=1，
∴（kcosα+（2-k）cosβ）²+（ksinα+（2-k）sinβ）²=1，
整理得：k²+（2-k）²+2k（2-k）cos（α-β）=1，
∴cos（α-β）=

1-k2-(2-k)2

2k(2-k)

=

-2k2+4k-3

-2k2+4k

=1+

3

2k2-4k

=1+

3

2(k-1)2-2

，
∵0＜k＜2，
∴k=1时，2（k-1）²-2取得最小值-2，
则cos（α-β）的最大值为1-

3

2

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算，二次函数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．