Question

【题目】如图（1）所示，五边形中，，，分别是线段的中点，且，现沿翻折，使得，得到的图形如图（2）所示.

图（1） 图（2）

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成角的平面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）根据二面角定义得是二面角的平面角，即得平面平面.由等腰三角形性质得，根据面面垂直性质定理得平面，即得.根据勾股定理得，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得的值.

试题解析：（1）如图，连接.因为，且是二面角的平面角，故平面平面.

因为，为线段的中点，故，

因为平面平面，平面，故平面，

因为平面，故.

，故，

即，因为，所以平面.

（2）因为，所以，由（I）知，平面，所以两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，

则，.设平面的法向量为，

由得令可得，故；

又为平面的一个法向量，平面与平面所成角的平面角的余弦值为，

所以，解得（负值舍去），故.