题目内容

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA∥平面EDB
（Ⅱ）AD⊥PC．

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明AD⊥平面PCD，即可证明AD⊥PC．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OE
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵在△PAC中，E是PC的中点，
∴OE∥PA，…（3分）
∵OE?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…（5分）
（Ⅱ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD．…（8分）
∴AD⊥PC．…（12分）

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．

练习册系列答案
相关题目
6．如图（1），△ABC中，∠ABC=90°，$AB=BC=2\sqrt{2}$，M为AC中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图（2）所示．

（Ⅰ）求证：平面BCM⊥平面ACM．
（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B-ACM外接球的直径．
7．对于函数f（x），若任给实数a、b、c，f（a），f（b），f（c）为某一三角形三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}+t}}{{{2^x}+1}}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）
A．[${\frac{1}{2}$，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）
4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$+lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x2．
（1）设h（x）=f（x）+g（x），求曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）≤g（x）．
11．已知函数f（x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$（a＞0，a≠1），则f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=$\frac{2015}{2}$．
1．给出下列四个命题：
①?x∈N*，C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$都是偶数；
②x=-1为函数f（x）=xex的极大值点；
③若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1；
④复数（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）2017的共轭复数是：$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
其中正确的个数有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．n∈N*，${C}_{n}^{0}$+3${C}_{n}^{1}$+…+（2n+1）$C_n^n$=（n+1）2n．
5．设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]，f（x）=x2+1
（1）f（x）在（1，2）上增，（2，3）上减           
（2）f（2016）=1
（3）f（x）图象关于x=2k+1（k∈Z）对称
（4）当x∈[3，4]时，f（x）=（x-4）2+1
则正确的个数有（　　）个．
A．1B．2C．3D．4
6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{3}+a{x}^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，其中a是常数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点x=-2和x=2处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）探求关于x的方程27f（x）-a3=0的根的个数．

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