Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，若b²+c²=2a²，则角A的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由b²+c²=2a²求出a²，由余弦定理求出cosA，代入化简后由不等式求出cosA的范围，由A的范围和余弦函数的性质求出A的范围，即可求出A的最大值．

解答 解：由b²+c²=2a²，得a²=$\frac{1}{2}$（b²+c²），
∴由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$≥$\frac{2bc}{4bc}=\frac{1}{2}$，
当且仅当b=c时取等号，则cosA$≥\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，则角A的最大值是$\frac{π}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查余弦定理，余弦函数的性质，以及利用不等式求最值问题，属于中档题．