Question

已知f（x）和g（x）为奇函数，若H（x）=af（x）+bg（x）+1在区间（0，+∞）有最大值5，则H（x）在区间（-∞，0）上的最小值为________．

Answer 1

-3
分析：由已知中f（x）和g（x）为奇函数，根据函数奇偶性的性质可得F（x）=H（x）-1=af（x）+bg（x）也为奇函数，进而根据H（x）=af（x）+bg（x）+1在区间（0，+∞）有最大值5，结合奇函数的性质可在区间（0，+∞）有最大值4，在区间（-∞，0）上的最小值为-4，进而得到答案．
解答：已知f（x）和g（x）为奇函数，
∴F（x）=H（x）-1=af（x）+bg（x）也为奇函数，
∵H（x）=af（x）+bg（x）+1在区间（0，+∞）有最大值5，
∴F（x）=af（x）+bg（x）在区间（0，+∞）有最大值4
∴F（x）=af（x）+bg（x）在区间（-∞，0）上的最小值为-4
∴H（x）在区间（-∞，0）上的最小值为-3
故答案为：-3
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造函数F（x）=H（x）-1=af（x）+bg（x），并利用函数奇偶性的性质判断其奇偶性，是解答本题的关键．