Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=a^x•g（x），（a＞0且a≠1）

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，令a_n=

f(n)

g(n)

，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过

15

16

的最小自然数n的值为

 

．

Answer 1

分析：因为f（x）=a^xg（x），所以

f(x)

g(x)

=a^x，则

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=

1

a

而

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到a的方程解出为a的值，则数列{a_n}的通项就写出来了，根据数列{a_n}的前n项和S_n超过

15

16

列出关于n的不等式即可求解

解答：解：因为f（x）=a^xg（x），所以

f(x)

g(x)

=a^x，
则

f(1)

g(1)

=a，

f(-1)

g(-1)

=

1

a

而

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到a+

1

a

=

5

2

，解得a=2或a=

1

2

，
由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）知a=2舍去，所以a=

1

2

；
则

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x所以数列{

f(n)

g(n)

}的通项为t_n=(

1

2

)n
所以S_n=

1 2 ×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1- (

1

2

)n
即1-(

1

2

)n＞

15

16

n＞4
故n的最小值为：5
故答案为 5

点评：考查学生掌握数列求和的能力及函数的求导运算法则，此题关键在于根据导函数与函数单调性间的关系，判定出原函数的单调性，从而得到a的值，属于基础题．